[거시경제학] - (폐쇄경제 솔로우 모형,Solow model) - 생산함수, 국민소득 항등식, 저축과 투자

경제의 성장은 왜 중요할까?

경제성장은 생활수준을 제고하고, 빈곤을 줄이는 핵심적인 역할을 합니다.

파키스탄의 경우 85%의 사람들이 $2가 안 되는 금액으로 하루를 살아가며, 빈곤한 나라의 1/4은 기근에 시달리고 있습니다.

이처럼 소득과 빈곤은 유의미한 상관관계를 띄고 있습니다.

솔로우 모형(Solow model)

솔로우모형은 경제성장이론으로, 저축, 인구증가, 기술진보가 시간의 흐름에 따라 경제 성장에 미치는 영향을 분석한 모형입니다.

 

주요 가정

1. 생산함수: 노동(L)과 자본(K)이 대체 가능한 콥-더글라스 생산함수를 사용, 한계생산체감의 법칙과 규모수익불변의 특성을 포함

2. 저축률: 국민소득 중 일정비용(s)이 저축되어 투자로 전환됨

3. 인구증가: 노동력은 외생적으로 일정비율(n)로 증가

4. 기술진보: 기술진보 역시 외생적으로 주어지며, 모든 국가에 동일하게 적용된다고 가정

5. 폐쇄 경제: 외부와의 교역이나 정부 부문을 고려하지 않음

6. 감가상각:  자본은 일정비율(δ)로 감가상각

7. G(정부지출) 혹은 T(조세)가 없음

 

1. 생산함수

생산함수는 일반적으로 다음과 같이 표현됩니다.

생산함수

 

만약, 기술진보를 포함하는 경우에는 다음과 같이 표현됩니다.

기술진보를 포함한 생산함수

 

이때, A는 노동의 효율성을 나타내는 기술수준(효율노동)을 의미합니다.

 

생산함수는 규모에 대한 수익불변(CRS, Constant Returns to Scale)의 특성을 갖고 있습니다.

즉, 자본과 노동을 같은 비율로 증가시키면 생산도 그 비율만큼 증가하게 됩니다.

임의의 λ > 0에 대해 

생산함수의 규모수익 불변

 

 

 

솔로우 모형에서의 생산함수는 자본과 노동의 결합으로 생산이 이루어지며, 규모에 대해서는 수익불면, 기술진보는 외생적이라는 가정을 바탕으로 구성됩니다. 이는 장기적으로는 자본 축적만으로는 지속적인 경제성장을 이룰 수 없고, 기술 진보가 성장의 핵심 동력임을 보여줍니다.

 

2. 국민소득 항등식(폐쇄경제 기준)

폐쇄경제(해외와의 무역이 없는 경제)에서 국민소득 항등식은 다음과 같이 표현됩니다.

국민소득 항등식(폐쇄경제 기준)

 

Y: 국내총생산, C: 민간소비, I: 민간투자, G:정부지출

 

이때, 국민소득 항등식을 1인당 기준으로 바꾸고, 저축률을 활용해서 1인당 소비를 구해보겠습니다.

 

단순화를 위해서 정부가 없는 모형을 사용하면 국민소득 항등식은 다음과 같이 표현됩니다.

국민소득 항등식(폐쇄경제 기준) 정부가 없는 모형

 

이때, 해당 식을 1인당 기준으로 바꾸려면, 노동인구 L로 나누면 됩니다.

1인당 국민소득

 

y: Y/L = 1인당 국민소득

c: C/L = 1인당 소비

i: I/L = 1인당 투자

 

이때, 저축은 소득 중 소비되지 않은 부분이므로 이렇게 나타낼수 있습니다.

저축

 

이걸 다시, 1인당 기준으로 나누면 이렇게 나타낼 수 있습니다.

1인당 저축

 

그리고 이때, 1인당 저축률 s는 다음과 같이 정의됩니다. 외생적으로 주어집니다.

 

저축률 s

 

보통 1인당이라는 말은 사람 한 명당, 특히 노동자 1인당을 의미하는 경우가 많습니다.

거시경제 모형에서는 대부분 노동력(L)을 기준으로 삼기 때문에, L로 나눕니다.

 

하지만, 저축률 같은 경우에, 저축률s는 총저축 S를 총소득 Y로 나눈값인데요.

이는 총량 기준 비율이기 때문에, 굳이 1인당으로 바꿀 필요가 없이 그대로 사용됩니다.

 

따라서, 투자와 저축이 같다는 폐쇄경제의 가정(저축=투자)에 따라 해당 식을 도출해낼 수 있습니다.

I = S = aY에서, 

총투자 I를 일인당 투자 i로 바꾸기 위해서 L로 나눕니다. -> i = I/L

그런데 위에 식에서, I = sY였으니깐, 여기에 대입을 하게 되면, I/L = i = sY/L이 됩니다.

그러면 i = sY/L이라는 식을 도출해낼 수 있습니다.

근데 여기서, Y/L은 y였습니다.(1인당 국민소득)

이를 반영해주면 i = sy라는 식이 나옵니다.

 

i=sy에서 y대신에 f(k)를 사용하면, k(자본)에 의한 y(국민소득) 그래프도 그릴 수 있습니다.

i=sf(k)

해당그래프는, f(k) = 1인당 국민소득과 sf(k) = 1인당 투자에 대한 그래프를 시각적으로 나타내는 그림입니다.

점선에서 y = c + i를 보여줍니다.

 

이제, 최종적으로 1인당 소비 c 식을 도출해보겠습니다.

 

i대신에 우리가 도출해낸, i=sy를 대신 대입합니다.

 

그리고, 해당 식을 1인당 소비 c에 대한 식으로 바꾸면, 이런 식이 나옵니다.

1인당 소비 c

 

즉, 1인당 소비 = (1-저축률) x 1인당 소득

 

예를들어, 1인당 소득은 100, 저축률이 0.3이라면,

c = (1-0.3) x 100 = 70

즉, 1인당 소비는 70, 나머지 30은 투자(저축)에 쓰인다는 의미입니다.