[거시경제학] - (폐쇄경제 솔로우 모형,Solow model) - 자본축적(감가상각, k의 운동 방정식, 안정상태, 황금률)

폐쇄경제 솔로우 모형 이어서..

 

자본축적

자본은 저축을 통한 투자로 늘어납니다. 사람들이 소득의 일부를 소비하지 않고 저축하면 자본이 증가합니다.

그래서, 자본의 증가분은 곧 저축이며 이는 곧 sy입니다.

s: 저축률(외생변수), y:1인당 국민소득

 

이때, 자본은 줄어들기도 합니다.

기계는 오래되면 고장 나고, 건물은 낡습니다. 이러한 현상을 감가상각이라고 합니다.

자본의 감소분 = δK

δ: 감가상각률, K: 자본량

감가상각

 

그래서, 자본의 축적 공식은 이렇게 나타낼 수 있습니다.

자본의 축적공식

 

 

 

이는 곧, "자본스톡의 변동 = 투자 - 감가상각"을 의미합니다.

i = sy에서, y=f(k)이므로, i=sf(k)로 나타낸 겁니다.

 

안정상태

솔로우 모형에서의 축적 공식은 가장 중심이 되는 방정식입니다.

안정상태

만일 감가상각만큼의 투자가 이루어진다면, sf(k)  = dk

1인당 자본량에는 변화가 없습니다. 

 

이러한 상태의 자본량을 안정상태의 자본스톡(steady state capital stock)이라고 합니다.

 

그래프로 나타내면 이렇게 됩니다.

안정상태의 자본스톡

 

 

안정상태로의 이동

 

해당 그림은 투자 > 감가상각입니다.

만약 k < k*라면,

투자는 감가상각을 상회하므로, k는 k*에 도달할 때까지 계속 증가하게 됩니다.

투자 < 감가상각일 때도 시간이 흘러감에 따라서 k는 k*에 도달할 때까지 계속 감소하게 돼서, 결국 안정상태에 접근하게 됩니다.

 

숫자를 이용한 예시

생산함수(Cobb-Dougals Function)

 

1인당 생산함수를 도출하면,

 

1인당 생산함수

 

이때, y = Y/L, k = K/L을 대입하며 풀면,

 

이때, s = 0.3, δ = 0.1이라고 가정했을 때, k, y, 및 c의 안정상태의 값을 구해봅시다.

 

안정상태의 값 풀이

 

 

저축률의 증가

저축률의 증가

 

저축률의 증가는 투자를 증가시키고, k가 증가하여 결국 새로운 안정상태로 접근하게 됩니다.

 

s가 상승하면, k*이 증가하고

y = f(K)이므로, k*의 증가는 곧 y*의 증가를 의미합니다.

즉, 솔로우 모형은 저축률과 투자율이 높은 국가일수록 장기적으로 더 높은 1인당 자본과 소득 수준을 가질 것으로 예측합니다.

황금률

s(저축률)가 변하면 안정상태도 달라집니다. 그러면 "가장 좋은" 안정상태는 언제일까요?

가장 좋은 안정상태에서 1인당 소비는 극대화됩니다.

 

솔로우 성장모형에서는 다음과 같은 기본 방정식이 있습니다.

1. 생산함수 -> y=f(k)

2. 소비함수 -> c=(1-s) f(k)

 

우선, s의 상승은 k*와 y*를 증가시키고, 이는 c*를 증가시킵니다.

소득이 늘어나기 때문에, 소비도 증가하게 됩니다. 이는 총파이가 확대되는 효과 때문에 그렇습니다.

그다음에는, 결국 소득에서 소비가 차지하는 비중(1-s)이 낮아지므로, c*가 감소하게 됩니다.

그러면, c*를 극대화시키는 s와 k*를 어떻게 찾을 수 있을까?

 

이 것을 찾는 게 황금률 저축률입니다.

 

정리하자면, 저축률 상승은 소득을 늘려 소비를 증가시키지만, 동시에 소비 비중은 줄어들게 되어 소비를 감소시킵니다.

이 두 부분이 만나는 지점에서 소비는 최대가 되며, 그 지점이 황금률입니다.

황금률 자본스톡

황금률 자본스톡은 1인당 소비(c*)가 가장 큰 안정상태의 자본량(k*)을 의미합니다.

즉, 장기적으로 사람들이 가장 많이 소비할 수 있는 자본의 수준입니다.

 

황금률 자본 수준을 도출하기 위하여, c*를 k*로 나타내면

이때, 황금률 k*을 구하기 위해서는, f(k*)와 δ k*의 간격이 가장 큰 지점을 찾아야 합니다.

 

그리고, c* = f(k*) - δ k*은 생산함수의 기울기와 감가상각선의 기울기가 같아지는 지점에서 가장 큽니다.

 

소비는 c=f(k)−δk, 생산에서 감가상각을 뺀 나머지입니다.

 

이때, c=f(k)−δk를 k에 대하여 극대화하려면, 미분하면 됩니다. 

즉, 생산함수의 기울기와 감가상각선의 기울기가 같아지는 지점에서 소비를 k에 대해 극대화할 수 있습니다.

그리고 이것을 우리가 아는 MPK(한계자본생산, 자본을 1 단위 더 투입했을 때 산출이 얼마나 늘어나는지)에 대입하면,

한계자본생산(MPK)이 그것을 유지하는 비용(δ)과 같아지는 지점이, 소비가 가장 커지는 황금률 자본량이라는 것을 알 수 있습니다.

경제 스스로 황금률 안정상태로 이동하는 경향은 갖고 있지 않습니다.

그래서, 황금률에 도달하기 위해서는 정책결정자들이 s를 조정해야 합니다.

이러한 조정을 통해 소비를 극대화할 수 있는 새로운 안정상태로 이동합니다.

 

만약, 현재의 자본이 황금률 자본량에 비해 크다면,

즉, 자본이 너무 많이 축적된 상태라면, 소비를 증가시키기 위해서는 저축률이 감소해야 합니다.

이는 자본의 한계생산 MPK가 이미 감가상각률 δ보다 작다는 것을 의미합니다.

그래서 자본을 더 늘리면 늘릴수록 더 손해라는 것입니다.

그래서, 저축률을 감소시켜야 합니다.

 

반면, 현재의 자본이 황금률 자본량에 비해 작다면,즉, 자본이 부족하다면, 당연히 소비를 증가시키기 위해서는 우선적으로 저축률을 증가시켜야 합니다.이렇게 된다면 장래세대는 더 많은 소비를 누릴 것입니다. 하지만, 현세대는 한시적으로 소비의 감소를 경험할 것입니다.

인구증가

만약, 인구(노동령)가 n의 속도로 증가한다고 가정해 봅시다. (n은 외생적인 변수)

균형을 이루는 투자

 

감가상각 보충은 시간이 지나면서 소모된 자본을 보충하는 데 필요한 투자,

신규 노동자에게 배분은 인구가 늘어나면서, 신규 노동장에게 자본을 배분해야 하는데, 그만큼 더 필요한 투자를 의미합니다.

 

인구증가를 고려할 때, k의 운동방정식은 다음과 같습니다.

안구 증가를 고려한 k의 운동 방정식

 

이때, sf(k)는 실제투자를 의미하고, 뒤는 균형투자를 의미합니다.

 

이때 만약 인구(n)가 증가하면, 균형을 이루는 투자를 증대시켜서 필요한 자본(k)의 양을 증대시켜서, 안정상태의 k를 감소시킵니다.

 

따라서, 솔로우 모형은 인구증가율이 높은 나라일수록 장기적으로 1인당 자본과 소득 수준이 더 낮아질 것으로 예측합니다.

인구증가와 황금률

황금률 자본스톡을 구하기 위하여, c*를 k*로 나타내보겠습니다.

 

그리고, 해당 식을 미분하여 결론을 도출해 보겠습니다.

 

즉, 황금률 안정상태에서는 자본의 한게생산물에서 감가상각률을 차감한 값이 인구증가율과 같습니다.