[미시경제학] - 게임이론 문제(보수행렬, 최소극대화전략, 우월전략, 내쉬균형)

문제

두 사냥꾼이 각각 길목을 지키면 호랑이 한 마리를 잡아 반씩 나눌 수 있다.

사냥꾼 갑이 길목을 지키더라도, 사냥꾼 을이 토끼를 쫓으면 사냥꾼 을은 토끼 한 마리를 갖지만, 사냥꾼 갑은 빈손으로 돌아가야 한다. 두 사냥꾼 모두 토끼를 쫓으면 각자 토끼 한 마리를 갖는다. 각 사냥꾼에게 호랑이 반 마리의 가치는 8이고, 토끼 한 마리의 가치는 2이다.

 

해당 문제의 보수행렬은 이렇게 됩니다.

	을 Guard (길목)	을 Hunt (토끼)
갑 Guard (길목)	(8, 8)	(0, 2)
갑 Hunt (토끼)	(2, 0)	(2, 2)

 

 

이때, 갑의 최소극대화전략은?

최소극대화전략은 각 전략의 최악의 경우를 고려하여, 그중 최악의 보수가 가장 큰 전략을 선택하는 전략입니다.

 

갑의 경우 선택지가 2가지가 있습니다.

1. 길목을 지키기, 2. 토끼를 쫓기

 

갑이 길목을 지킬 경우 역시 2가지의 경우가 발생합니다. 

을이 길목을 지킬 때와 을이 토끼를 쫓을 때가 있죠.

이때의 효용은 각각 8과 0이 됩니다. 이때, 갑의 최악의 보수는 0입니다.

 

갑이 토끼를 쫓을 경우의 역시 2가지의 경우가 발생합니다.

을이 길목을 지킬 때와 을이 토끼를 쫓을 때가 있죠.

이때의 효용은 각각 2와 2가 됩니다. 이때, 갑의 최악의 보수는 2입니다.

 

그렇기 때문에, 갑의 최소극대화전략은 최악의 보수가 가장 큰 전략인 "토끼 쫓기"입니다.

 

갑에게 우월전략이 있는지? 있다면 무엇인지?

우월전략은 상대의 선택에 상관없이 항상 더 높은 보수를 주는 전략을 말합니다.

 

1. 을의 전략이 Guard일 경우

갑이 Guard 선택 시 8, Hunt 선택 시 2

갑은 Guard 선택이 더 낫습니다.

 

2. 을의 전략이 Hunt일 경우

갑이 Guard 선택 시 0, Hunt 선택 시 2

갑은 Hunt 선택이 더 낫습니다.

 

즉, 갑에게는 을의 전략이 Guard인지 Hunt인지에 따라서 높은 보수를 주는 전략이 바뀝니다.

결론적으로, 갑에게 우월전략은 존재하지 않습니다.

 

내쉬균형이 있는지? 있다면 몇 개이고 무엇인지?

내쉬균형은 상대방의 전략이 고정되었을 때, 자신의 전략을 바꾸어도 이익이 늘어나지 않는 전략 조합입니다.

각 조합은 보수행렬을 통해 살펴봐야 합니다.

 

(갑, 을)의 조합은 총 4가지가 있습니다.

1번 (Guard, Guard), 2번(Guard, Hunt), 3번(Hunt, Guard), 4번(Hunt, Hunt)

 

(Guard, Guard) 먼저 설펴보겠습니다.

갑 입장에서, 을이 Guard일 때, 갑이 Guard 하면 8, Hunt 하면 2이기 때문에, 8>2 즉, 갑은 이탈 유인이 없습니다.

을 입장에서, 갑이 Guard일 때, 을이 Guard 하면 8, Hunt 하면 2이기 때문에, 8>2 즉, 을도 이탈 유인이 없습니다.

(Guard, Guard) = (6,6)은 내쉬균형입니다.

 

(Guard, Hunt)입니다.

갑 입장에서, 을이 Hunt일 때, 갑이 Guard 하면 0, Hunt 하면 2이기 때문에 0 <2 즉, 갑은 이탈할 것입니다.

을 입장에서, 갑이 Guard일 때, 을이 Hunt 하면 2, Guard 하면 8이기 때문에 2 <8 즉, 을은 이탈할 것입니다.

(Guard, Hunt)는 내쉬균형이 아닙니다.

 

이와 동일하게 진행하면,

이 게임에는 두 개의 내쉬균형이 존재합니다.

1. (Guard, Guard) = (6,6)

2. (Hunt, Hunt) = (2,2)